Tìm các giá trị của tham số \(m\) để bất phương tr...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ của bất phương trình.

- Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {{{\log }_4}\left( {2{x^2} - 5x + 1} \right)} \) đưa về bất phương trình ẩn \(t\) (chú ý tìm điều kiện cho \(t\) ).

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm \(m\).

Giải chi tiết:

+) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 5x + 1 > 0\\{\log _4}\left( {2{x^2} - 5x + 1} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 1 \ge 1\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x \ge 0\) \( \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {\dfrac{5}{2}; + \infty } \right)\).

+) Đặt  \(t = \sqrt {{{\log }_4}\left( {2{x^2} - 5x + 1} \right)}  = \sqrt {\dfrac{1}{2}{{\log }_2}\left( {2{x^2} - 5x + 1} \right)} \). \(\left( {t \ge 0} \right)\).

Xét \(x \ge 3\) thì \(t \ge 1\) bất phương trình tương đương với

\( \Rightarrow 2{t^2} - m > m.t\)\( \Rightarrow m\left( {t + 1} \right) < 2{t^2} \Rightarrow m < \dfrac{{2{t^2}}}{{t + 1}}\). \(\forall t \ge 1\).

Xét hàm \(f\left( t \right) = \dfrac{{2{t^2}}}{{t + 1}}\) trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\) có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{{2{t^2} + 4t}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} > 0\). \(\forall t \ge 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

Thỏa mãn yêu cầu bài toán \(m < f\left( 1 \right) = 1\).

Chọn A.