Cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| z-1-...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Biểu diễn số phức và giải bài toán tìm GTLN trên mặt phẳng tọa độ.

Giải chi tiết:

Gọi \(I\left( 1;1 \right),\,\,J(-1;-3),\,\,A(2;3)\). Xét số phức \(z=x+yi,\,\,\left( x,y\in R \right)\), có điểm biểu diễn là \(M(x;y)\).

\(\left| z-1-i \right|+\left| z+1+3i \right|=6\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}}+\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}}=6\sqrt{5}\) (1)

\(\Leftrightarrow MI+MJ=6\sqrt{5}\Rightarrow M\)di chuyển trên đường elip có tiêu điểm \(I\) và \(J\), độ dài trục lớn là \(3\sqrt{5}\) (như hình vẽ).

Tìm giá trị lớn nhất của \(\left| z-2-3i \right|\) tức là tìm độ dài lớn nhất của đoạn AM khi M di chuyển trên elip.

Ta có: \(\overrightarrow{IA}=(1;2),\,\,\overrightarrow{JA}=(3;6)\Rightarrow \overrightarrow{JA}=3\overrightarrow{IA}\), điểm A nằm trên trục lớn của elip.

\(\Rightarrow AM\) đạt độ dài lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với B, là đỉnh của elip nằm trên trục lớn và khác phía A so với điểm I.

Gọi S là trung điểm của IJ \(\Rightarrow S\left( 0;-1 \right)\).

Độ dài đoạn \(AB=SA+SB\)

Mà \(\overrightarrow{AS}=\left( -2;-4 \right)\Rightarrow AS=2\sqrt{5}\),  \(SB=\frac{6\sqrt{5}}{2}=3\sqrt{5}\) \(\Rightarrow AB=5\sqrt{5}\)

Vậy \({{\left| z-2-3i \right|}_{\max }}=5\sqrt{5}\).

Chọn: D