Biết rằng đường thẳng \(y=x-m...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm.

+) Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại suy ra phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

+) Gọi 3 nghiệm của phương trình là \(a-d;\,\,a;\,\,a+d\,\,\left( d\ne 0 \right)\), sử dụng định lí Vi-et của phương trình bậc ba.

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=x-m\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+m=0\,\,\left( * \right)\)

Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại \(\Rightarrow pt\,\,\left( * \right)\) có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

Gọi 3 nghiệm của phương trình (*) theo thứ tự của 1 CSC là \(a-d;\,\,a;\,\,a+d\,\,\left( d\ne 0 \right)\).

Theo định lí Vi-et ta có \(a-d+a+a+d=\frac{-b}{a}=3\Leftrightarrow 3a=3\Leftrightarrow a=1\)

\(\Rightarrow pt\,\,\left( * \right)\) có 1 nghiệm \(x=1\Rightarrow 1-3-1+m=0\Leftrightarrow m=3\)

Khi đó phương trình  (*) có dạng \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  x=-1 \\  x=1 \\  x=3 \\ \end{align} \right.\,\,\left( tm \right)\)

Vậy \(m=3\in \left( 2;4 \right)\).

Chọn A.