Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tam giác ABC có các đường cao AM, BP, CN, trực tâm H thì H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP.

+) Công thức tính tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC: \(\left\{ \begin{align}  {{x}_{I}}=\frac{BC.{{x}_{A}}+CA.{{x}_{B}}+AB.{{x}_{C}}}{BC+CA+AB} \\  {{y}_{I}}=\frac{BC.{{y}_{A}}+CA.{{y}_{B}}+AB.{{y}_{C}}}{BC+CA+AB} \\  {{z}_{I}}=\frac{BC.{{z}_{A}}+CA.{{z}_{B}}+AB.{{z}_{C}}}{BC+CA+AB} \\ \end{align} \right.\)

(Được xây dựng dựa vào đẳng thức: \(BC.\overrightarrow{IA}+CA.\overrightarrow{IB}+AB.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)) .

Giải chi tiết:

\(H(2;2;1),\,\,K\left( -\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right)\)

Tam giác ABC có các đường cao AH, BK, CO, trực tâm I

\(\Rightarrow I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OHK.

\(OK=4,\,\,HK=5;\,\,OH=3\)

Tọa độ điểm I:

\(\left\{ \begin{align}{{x}_{I}}=\frac{OK.{{x}_{H}}+OH.{{x}_{K}}+HK.{{x}_{O}}}{OK+OH+HK}=\frac{4.2+3.\frac{-8}{3}+5.0}{4+3+5}=0 \\ {{y}_{I}}=\frac{OK.{{y}_{H}}+OH.{{y}_{K}}+HK.{{y}_{O}}}{OK+OH+HK}=\frac{4.2+3.\frac{4}{3}+5.0}{4+3+5}=1 \\  {{z}_{I}}=\frac{OK.{{z}_{H}}+OH.{{z}_{K}}+HK.{{z}_{O}}}{OK+OH+HK}=\frac{4.1+3.\frac{8}{3}+5.0}{4+3+5}=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow I(0;1;1)\)

+) Viết phương trình đường thẳng IH:

\(\overrightarrow{IH}=\left( 2;1;0 \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng IH

Phương trình đường thẳng IH:  \(\left\{ \begin{align}  x=2t \\  y=1+t \\  z=1 \\ \end{align} \right.\)

+) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)qua O và vuông góc OI  (chứa AB)

\(\overrightarrow{OI}=\left( 0;1;1 \right)\)là một vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha  \right)\)

\(\left( \alpha  \right):\,\,0.(x-0)+1.(y-0)+1.(z-0)=0\Leftrightarrow y+z=0\)

+) Tìm tọa độ điểm \(A=IH\cap \left( \alpha  \right)\)

\(A\in IH\Rightarrow \) Gọi \(A\left( 2t;1+t;1 \right)\).

\(A\in \left( \alpha  \right)\Rightarrow 1+t+1=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow A\left( -4;-1;1 \right)\)

+) Gọi d là đường thẳng cần tìm. Khi đó, d có 1 VTCP \(\overrightarrow{u}=\frac{1}{4}.\left[ \overrightarrow{OH};\overrightarrow{OK} \right]=\left( 1;-2;2 \right)\)

 Phương trình đường thẳng \(d:\frac{x+4}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-1}{2}\)

Chọn: D