Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương \(m\) để phươn...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Đưa về phương trình lượng giác cơ bản, biện luận tìm tham số m

Giải chi tiết:

 Ta có \({{\cos }^{2}}x+\sqrt{\cos x+m}=m\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x+\cos x-{{\left( \sqrt{\cos x+m} \right)}^{2}}+\sqrt{\cos x+m}=0\) \(\Leftrightarrow \left( \cos x-\sqrt{\cos x+m} \right)\left( \cos x+\sqrt{\cos x+m} \right)+\cos x+\sqrt{\cos x+m}=0\) \(\Leftrightarrow \left( \cos x-\sqrt{\cos x+m}+1 \right)\left( \cos x+\sqrt{\cos x+m} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{\cos x+m}=\cos x+1 \\ & \sqrt{\cos x+m}=-\,\cos x \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Đặt \(t=\cos x\in \left[ -\,1;1 \right],\) khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{t+m}=t+1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & \sqrt{t+m}=-\,t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right..\)

Giải \(\left( 1 \right),\) ta có \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow m={{t}^{2}}+t+1\) có nghiệm \(t\in \left[ -\,1;1 \right]\)\(\Leftrightarrow \)\(\frac{3}{4}\le m\le 3.\)

Giải \(\left( 2 \right),\) ta có \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow m={{t}^{2}}-t\) có nghiệm \(t\in \left[ -\,1;1 \right]\)\(\Leftrightarrow \)\(-\,\frac{1}{4}\le m\le 2.\)

Kết hợp với \(m\in {{\mathbb{Z}}^{+}},\) ta được \(m=\left\{ 1;\,\,2;\,\,3 \right\}\) là các giá trị cần tìm.

Chọn C