Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

- Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cho \(\Delta \) có VTCP \(\overrightarrow{u}\) và qua M;   \(\Delta '\)có VTCO \(\overrightarrow{v}\) và qua M’

\(d\left( \Delta ;\Delta ' \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right].\overrightarrow{MM'} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right] \right|}\)

Giải chi tiết:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, trong đó:

\(\begin{align}  & A'(0;0;0),\,\,B'(0;a;0),\,\,C'(a;a;0),\,\,D'(a;0;0) \\ & A(0;0;a),\,\,\,B(0;a;a),\,\,\,C(a;a;a),\,\,D(a;0;a),\,\,\,M\left( \frac{a}{2};a;a \right) \\\end{align}\)

Đường thẳng AM có VTCP \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AM}=\left( \frac{a}{2};a;0 \right)\) và qua \(A(0;0;a)\)

Đường thẳng DB’ có VTCP \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{DB'}=\left( -a;a;-a \right)\) và qua \(D(a;0;a)\)

\(\overrightarrow{AD}=\left( a;0;0 \right)\)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và DB’:    \(d\left( AM;DB' \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right].\overrightarrow{AD} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right] \right|}\)

Ta có:  \(\left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right]=\left( -{{a}^{2}};\frac{{{a}^{2}}}{2};\frac{3{{a}^{2}}}{2} \right)\Rightarrow d\left( AM;DB' \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right].\overrightarrow{AD} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right] \right|}=\frac{\left| -{{a}^{2}}.a+\frac{{{a}^{2}}}{2}.0+\frac{3{{a}^{2}}}{2}.0 \right|}{\sqrt{{{a}^{4}}+\frac{{{a}^{4}}}{4}+\frac{9{{a}^{4}}}{4}}}=\frac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}\sqrt{\frac{7}{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\)

Vây, khoảng cách giữa AM và DB’ là \(\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\)

Chọn: A