Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(G\)là trực tâm tam giác MNP \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & G\in (MNP) \\  & \overrightarrow{MG}.\overrightarrow{NP}=0 \\  & \overrightarrow{PG}.\overrightarrow{MN}=0 \\ \end{align} \right.\)

Giải chi tiết:

\(G({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\) là trực tâm tam giác MNP \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & G\in (MNP) \\  & \overrightarrow{MG}.\overrightarrow{NP}=0 \\  & \overrightarrow{PG}.\overrightarrow{MN}=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\overrightarrow{MN}=\left( 0;-1;-3 \right),\,\,\overrightarrow{NP}=\left( -1;1;1 \right)\)

Mặt phẳng (MNP) có một VTPT: \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP} \right]=(2;3;-1)\)

Phương trình (MNP) : \(2(x-1)+3(y-1)-1(z-1)=0\Leftrightarrow 2x+3y-z-4=0\)

\(G({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\in (MNP)\Leftrightarrow 2{{x}_{0}}+3{{y}_{0}}-{{z}_{0}}-4=0\,\,\,\,(1)\)

\(\overrightarrow{MG}=({{x}_{0}}-1;{{y}_{0}}-1;{{z}_{0}}-1)\Rightarrow \overrightarrow{MG}.\overrightarrow{NP}=({{x}_{0}}-1).(-1)+({{y}_{0}}-1).1+({{z}_{0}}-1).1=0\Leftrightarrow -{{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}-1=0\,\,\,(2)\)

\(\overrightarrow{PG}=({{x}_{0}}-0;{{y}_{0}}-1;{{z}_{0}}+1)\Rightarrow \overrightarrow{PG}.\overrightarrow{MN}=0\Leftrightarrow ({{x}_{0}}-0).0+({{y}_{0}}-1).(-1)+({{z}_{0}}+1).(-3)=0\Leftrightarrow {{y}_{0}}+3{{z}_{0}}+2=0\,\,\,(3)\)

Từ (1),(2),(3), suy ra:  

\(\left\{ \begin{array}{l}
2{x_0} + 3{y_0} - {z_0} - 4 = 0\,\\
- {x_0} + {y_0} + {z_0} - 1 = 0\\
{y_0} + 3{z_0} + 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = \frac{{ - 5}}{7}\\
{y_0} = \frac{{10}}{7}\\
{z_0} = - \frac{8}{7}
\end{array} \right. \Rightarrow {x_0} + {z_0} = - \frac{{13}}{7}\)

Chọn: C