Cho hàm số \(y = 2{x^3} + 3m{x^2} + 3x + {m^2}\) ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai cực trị của hàm số.

Để hàm số có hai cực trị nằm về hai phía của đường thẳng \(y = 3x - 4\) thì \(\left( {3{x_1} - 4} \right)\left( {3{x_2} - 4} \right) < 0\).

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\)

Ta có \(y' = 6{x^2} + 6mx + 3\)

Để hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow pt\,\,y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)

\( \Leftrightarrow 9{m^2} - 18 > 0 \Leftrightarrow {m^2} > 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \sqrt 2 \\m <  - \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Gọi hai điểm cực trị của hàm số là \({x_1};{x_2} \Rightarrow \) \({x_1};{x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình \(y' = 0\).

Để hai điểm cực trị nằm về 2 phía của đường thẳng \(y = 3x - 4\)

\( \Rightarrow \left( {3{x_1} - 4} \right)\left( {3{x_2} - 4} \right) < 0 \Leftrightarrow 9{x_1}{x_2} - 12\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 16 < 0\)

Theo định lí Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - m\\{x_1}{x_2} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 9.\frac{1}{2} - 12\left( { - m} \right) + 16 < 0 \Leftrightarrow 12m <  - \frac{{41}}{2} \Leftrightarrow m < \frac{{ - 41}}{{24}}\). Kết hợp điều kiện ta có \(m \in \left( { - 10;\frac{{ - 41}}{{24}}} \right)\)

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án C.