Cho hàm số: \(y = \dfrac{m}{3}{x^3} - \left( {m -...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện của \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta >0\).

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét và hệ thức bài cho để tìm \(m.\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(y' = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) = 0\,\,\left( * \right)\)

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \({x_1};\,\,{x_2}\)\( \Leftrightarrow \) pt (*) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} - 3m\left( {m - 2} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 2{m^2} + 4m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\dfrac{{2 - \sqrt 6 }}{2} < m < \dfrac{{2 + \sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {m - 1} \right)}}{m}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có:  \({x_1} + 2{x_2} = 1\,\,\,\,\left( 3 \right)\).

Kết hợp (1) và (3) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{3m - 4}}{m}\\{x_2} = \dfrac{{2 - m}}{m}\end{array} \right.\)

Thế vào (2) ta được: \(\dfrac{{3m - 4}}{m}.\dfrac{{2 - m}}{m} = \dfrac{{3m - 6}}{m} \Leftrightarrow 6{m^2} - 16m + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\left( {tm} \right)\\m = \dfrac{2}{3}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Chọn A.

Cách 2: Ta có thể thử từng giá trị của m trong các đáp án để tìm ra các điểm cực trị \({x_1};\,\,{x_2}\) sau đó thử xem \({x_1} + 2{x_2} = 1\) có đúng hay không. Với giá trị m thỏa mãn hai điều trên thì là giá trị cần tìm.