Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cho hai hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\)và \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\)liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\), \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\)và hai đường thẳng \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}a;{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}b\)khi quay quanh trục Ox là:

\(V=~\pi \int_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}(x)-{{g}^{2}}(x) \right|dx}\).

Giải chi tiết:

Thể tích cần tìm là:

\(\begin{array}{l}V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{6}} {{{\sin }^2}xdx}  = \pi \int_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}dx}  = \frac{\pi }{2}\int_0^{\frac{\pi }{6}} {dx}  - \frac{\pi }{2}\int_0^{\frac{\pi }{6}} {\cos 2xdx}  = \frac{\pi }{2}.\left. x \right|_0^{\frac{\pi }{6}} - \frac{\pi }{2}.\frac{1}{2}\left. {\sin 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{6}} = \frac{\pi }{2}.\frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{2}.\frac{1}{2}.\left( {\sin \frac{\pi }{3} - \sin 0} \right)\\= \frac{\pi }{2}.\frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{2}.\frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{\pi }{4}\left( {\frac{\pi }{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\end{array}\)

Chọn: C