Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạn...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Sử dụng định lý sin để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB, BHC, CHA

+ Tính SH

+ Tính thể tích hình chóp

Giải chi tiết:

Gọi \({R_1},{R_2},{R_3}\)  lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ AHB, ∆ BHC, ∆ CHA. Theo định lý sin, ta có.

\(AB = 2{R_1}\sin \widehat{ AHB} \Rightarrow {R_1} = \dfrac{{AB}}{{2\sin \widehat{ AHB}}} = 2\)

Tương tự ta có

\(\begin{array}{l}{R_2} = \dfrac{{BC}}{{2\sin \widehat{ BHC}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\\{R_3} = \dfrac{{CA}}{{2\sin \widehat{ CHA}}} = 1\end{array}\)

Gọi \({r_1},{r_2},{r_3}\) lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện SAHB, SBHC, SCHA

Ta chứng minh được \(r_1^2 = R_1^2 + {\left( {\dfrac{{SH}}{2}} \right)^2}\) và 2 đẳng thức tương tự, suy ra \(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = R_1^2 + R_2^2 + R_3^2 + \dfrac{{3S{H^2}}}{4}\)

Theo bài ra ta có \(4\pi \left( {r_1^2 + r_2^2 + r_3^2} \right) = \dfrac{{124}}{3}\pi  \Rightarrow r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = \dfrac{{31}}{3}\)

\( \Rightarrow S{H^2} = \dfrac{4}{3}\left( {r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 - R_1^2 - R_2^2 - R_3^2} \right) = \dfrac{{16}}{3} \Rightarrow SH = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

\({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{4}{3}\)

Chọn đáp án B