Chứng minh các bất đẳng thức:a. \...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-        Chứng minh một vế luôn dương (hằng đẳng thức)

-        Chuyển hết sang một bên để một vế là 0

Giải chi tiết:

a.Ta biến đổi:

$\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,\,\,{{a}^{2}}-6a+10\ge 1 \\  & \Leftrightarrow {{a}^{2}}-6a+9\ge 0 \\  & \Leftrightarrow {{(a-3)}^{2}}\ge 0 \\ \end{align}$

Luôn đúng $\Rightarrow {{a}^{2}}-6a+10\ge 1.$

b.Ta biến đổi:

$\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,\,\,4{{a}^{4}}-4{{a}^{3}}+{{a}^{2}}\ge 0 \\  & \Leftrightarrow {{a}^{2}}(4{{a}^{2}}-4a+1)\ge 0 \\  & \Leftrightarrow {{a}^{2}}{{(2a-1)}^{2}}\ge 0 \\ \end{align}$

Luôn đúng $\Rightarrow 4{{a}^{4}}-4{{a}^{3}}+{{a}^{2}}\ge 0.$

c. ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}\ge {{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}$ với $x>0;\,\,y>0$.

Ta có:

$\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,\,{{x}^{3}}+{{y}^{3}}\ge {{x}^{2}}y+x{{y}^{2}} \\  & \Leftrightarrow \left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)\ge xy\left( x+y \right) \\  & \Leftrightarrow \left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-xy \right)\ge 0 \\  & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}\ge 0\,\,\,\,\left( do\,\,\,x+y>0 \right) \\  & \Leftrightarrow {{\left( x-y \right)}^{2}}\ge 0\,\,\forall x,\,\,y>0. \\ \end{align}$

Vậy ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}\ge {{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}$ với $x>0;\,\,y>0$.