Hệ phương trình \(\left\{ \matrix{  C_x^y - C_x^{y...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thứ, rút x (hoặc y) từ 1 phương trình sau đó thay vào phương trình còn lại để đưa về phương trình một ẩn.

Ta sử dụng công thức \(C_n^k = C_n^{n - k}\)

Giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \matrix{  x \ge y \ge 0 \hfill \cr   x \ge y + 1 \ge 0 \hfill \cr   x \ge y - 1 \ge 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  y \ge 1 \hfill \cr   x \ge 2 \hfill \cr}  \right.\,\,\left( {x,y \in N} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
C_x^y - C_x^{y + 1} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
4C_x^y - 5C_x^{y - 1} = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow C_x^y = C_x^{y + 1} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y + 1 = y\\
y + 1 = x - y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
0 = 1\,\,\left( {VN} \right)\\
x = 2y + 1
\end{array} \right. \Rightarrow x = 2y + 1\\
\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4C_x^y = 5C_x^{y - 1}\\
\Leftrightarrow \dfrac{{4x!}}{{y!\left( {x - y} \right)!}} = \dfrac{{5x!}}{{\left( {y - 1} \right)!\left( {x - y + 1} \right)!}}\\
\Leftrightarrow \dfrac{4}{y} = \dfrac{5}{{x - y + 1}}\,\left( * \right)
\end{array}\)

Thay \(x = 2y + 1\) vào phương trình (*) ta được: \({4 \over y} = {5 \over {2y + 1 - y + 1}} \Leftrightarrow 4\left( {y + 2} \right) = 5y \Leftrightarrow y = 8\,\,\left( {tm} \right)\)

\( \Rightarrow x = 2.8 + 1 = 17\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {17;8} \right).\)

Chọn A.