Giải phương trình nghiệm nguyên \...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét tính chia hết của \(x,\,\,y,\,\,z\) với 7.

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là một nghiệm của phương trình ban đầu

Khi đó ta có

              \(\begin{array}{l}{x_0}^3 + 7{y_0}^3 = 49{z_0}^3\,\,\left( 1 \right)\\ \Rightarrow {x_0}^3\,\, \vdots \,\,7 \Rightarrow {x_0}\,\, \vdots \,\,7\\ \Rightarrow {x_0} = 7{x_1}\end{array}\)

Thay \({x_0} = 7{x_1}\) vào phương trình (1) ta có:

           \(\begin{array}{l}{7^3}{x_1}^3 + 7{y_0}^3 = 49{z_0}^3\,\,\left( 2 \right)\\ \Leftrightarrow {7^2}x_1^3 + y_0^3 = 7z_0^3\\ \Rightarrow {y_0}\,\, \vdots \,\,\,7\\ \Rightarrow {y_0} = 7{y_1}\end{array}\)

Thay \({y_0} = 7{y_1}\) vào phương trình (2), tương tự ta có \({x_0} = 7{x_1}\)

Khi đó ta có phương trình \({x_1}^3 + 7{y_1}^3 = 49{z_1}^3 \Rightarrow \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) cũng là một nghiệm của phương trình đã cho.

Chứng minh tương tự ta có \(\left( {\dfrac{{{x_0}}}{{{7^k}}};\dfrac{{{y_0}}}{{{7^k}}};\dfrac{{{z_0}}}{{{7^k}}}} \right)\,\,\,\forall k \in {\mathbb{Z}^ + }\) là nghiệm của phương trình đã cho \( \Leftrightarrow {x_0} = {y_0} = {z_0} = 0.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {0;0;0} \right)\).