Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{-1+x}\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang \(y=1\,\,\left( {{d}_{1}} \right)\)và tiệm cận đứng \(x=1\,\,\left( {{d}_{2}} \right)\)

+) Gọi \(M\left( {{x}_{0}};\frac{{{x}_{0}}+1}{-1+{{x}_{0}}} \right)\in \left( C \right)\), viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M: \(y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+1}{-1+{{x}_{0}}}\,\,\,\left( d \right)\)

+) Gọi \(A={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}},B=d\cap {{d}_{2}},C=d\cap {{d}_{1}}\Rightarrow \Delta ABC\)vuôn tại A \(\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC\)

Giải chi tiết:

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang \(y=1\,\,\left( {{d}_{1}} \right)\)và tiệm cận đứng \(x=1\,\,\left( {{d}_{2}} \right)\).

Gọi \(A={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}\Rightarrow A\left( 1;1 \right)\)

\(y'=\frac{1.\left( -1 \right)-1.1}{{{\left( -1+x \right)}^{2}}}=-\frac{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\)

Gọi \(M\left( {{x}_{0}};\frac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-1} \right)\in \left( C \right)\)ta có tiếp tuyến tại M của đồ thị hàm số là \(y=-\frac{2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-1}\,\,\,\left( d \right)\)

Cho x  = 1 \(\Rightarrow y=-\frac{2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( 1-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-1}=\frac{2}{{{x}_{0}}-1}+\frac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-1}=\frac{{{x}_{0}}+3}{{{x}_{0}}-1}\)

Gọi \(B=d\cap {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 1;\frac{{{x}_{0}}+3}{{{x}_{0}}-1} \right)\)

\(\begin{array}{l}Cho\,y = 1 \Rightarrow 1 =  - \frac{2}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}\\ \Leftrightarrow 1 =  - \frac{{2x}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{{2{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}} - 1\\ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x_0} + x_0^2 - 1 - x_0^2 + 2{x_0} - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{4{x_0} - 2}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow x = 2{x_0} - 1\end{array}\)

 Gọi \(C=d\cap {{d}_{1}}\Rightarrow C\left( 2{{x}_{0}}-1;1 \right)\)

 Tam giác ABC là tam giác vuông tại A có

\(\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {\frac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}} - 1} \right)}^2}}  = \frac{4}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}},\,\,AC = \sqrt {{{\left( {2{x_0} - 1 - 1} \right)}^2}}  = \left| {2{x_0} - 2} \right| = 2\left| {{x_0} - 1} \right|\\ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}\frac{4}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}.2\left| {{x_0} - 1} \right| = 4\end{array}\)

Chọn C.