Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{3}{{x}^{3}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để phương trình đã cho có hai cực trị

+) Sử dụng hệ thức Vi-et và biến đổi biểu thức T.

+) Đánh giá T theo hằng đẳng thức.

Giải chi tiết:

Ta có \({y}'={{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x-2m+1\) (*). Để hàm số có hai điểm cực trị \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)hay \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} + 2m - 1 > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 4\\m > 0\end{array} \right.\).

Theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\{x_1}.{x_2} =  - 2m + 1\end{array} \right.\).

Xét \(T=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-10\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\)\(={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-10\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)={{\left( 2m+2 \right)}^{2}}-2\left( -2m+1 \right)-10\left( 2m+2 \right)\)

\(=4{{m}^{2}}-8m-18=4{{\left( m-1 \right)}^{2}}-22\ge -22\)

Vậy \(\min T=-22\Leftrightarrow m=1\left( TM \right)\).

Chọn D.