Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{4}^{x}}}{{{...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chú ý quan trọng của bài toán là 2 giá trị trong ngoặc có tổng bằng 1, từ đó xác định tổng hai giá trị có giá trị không đổi để tính tổng S

Giải chi tiết:

Ta có \(f\left( x \right)=\frac{{{4}^{x}}}{{{4}^{x}}+2}\Rightarrow f\left( 1-x \right)=\frac{{{4}^{1\,-\,x}}}{{{4}^{1\,-\,x}}+2}\)

\(\begin{align} & \Rightarrow f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)=\frac{{{4}^{x}}}{{{4}^{x}}+2}+\frac{{{4}^{1-x}}}{{{4}^{1-x}}+2}=\frac{{{4}^{x}}}{{{4}^{x}}+2}+\frac{4}{4+{{2.4}^{x}}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{{{4}^{x}}}{{{4}^{x}}+2}+\frac{2}{{{4}^{x}}+2}=1. \\\end{align}\)

Khi đó \(f\left( \frac{1}{2019} \right)+f\left( \frac{2018}{2019} \right)=1;\) \(f\left( \frac{2}{2019} \right)+f\left( \frac{2017}{2019} \right)=1;\) … và \(f\left( 1 \right)=\frac{4}{6}.\)

Vậy \(S=f\left( \frac{1}{2019} \right)+f\left( \frac{2}{2019} \right)+\,\,...\,\,+f\left( \frac{2018}{2019} \right)+f\left( 1 \right)=\frac{2018}{2}.1+\frac{4}{6}=\frac{3029}{3}.\)

Chọn D