Cho hàm số

Câu hỏi: Cho hàm số $\dpi{80} y=\frac{x-1}{x+m}$ (1)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=1.2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y= x+2 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho $\dpi{80} AB=2\sqrt{2}$ .

A m=1

B m=7

C m=3

D m=5

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Với m = 1 => $\dpi{100} y=\frac{x-1}{x+1}$

Tập xác định D= R $\dpi{100} \setminus \begin{Bmatrix} -1\\ \end{Bmatrix}$

Sự biến thiên

- giới hạn và tiệm cận

$\dpi{100} \lim_{x\rightarrow \pm \infty }y=1$ => y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị

$\dpi{100} \lim_{x\rightarrow -1^{-}}y=+\infty ; \lim_{x\rightarrow -1^{+}}y=-\infty$

=> x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị

( 0,5đ )

Bảng biến thiên : $\dpi{100} y'=\frac{2}{(x+1)^{2}}$ > 0 $\dpi{100} \forall$ x $\dpi{100} \epsilon D$ ( 0,5đ )

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( - $\dpi{100} \infty$ ; - 1 ) và ( -1 ; + $\dpi{100} \infty$ ) ( 0,5đ )

Đồ thị

Cho x = 0 => y = -1

y = 0 => x = 1

Nhận xét : Đồ thị nhận I(-1;1) làm tâm đối xứng

( 0,5đ )

2) Phương trình hoành độ giao điểm

$\dpi{100} \frac{x-1}{x+m}=x+2 (1)$

<=> $\dpi{100} \left\{\begin{matrix} x\neq -m & \\ x^{2}+(m+1)x+2m+1=0(2) & \end{matrix}\right.$

Để đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B

<=> phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

<=> phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác - m

<=> $\dpi{100} \left\{\begin{matrix} \Delta =m^{2}-6m-3>0 & \\ m\neq -1 & \end{matrix}\right.$ ( 0,5đ )

<=> $\dpi{100} \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} m<3-2\sqrt{3} & \\ m>3+2\sqrt{3} & \end{matrix}& \\ m\neq -1 & \end{matrix}\right.$ ( 0,5đ )

Gọi $\dpi{100} x_{1}$ ; $\dpi{100} x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình (2). Theo viet ta có : $\dpi{100} \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-(m+1) & \\ x_{1}.x_{2}=2m+1& \end{matrix}\right.$

Tọa độ 2 giao điểm A ( $\dpi{100} x_{1}$ ; $\dpi{100} x_{1}$ +2) ; B( $\dpi{100} x_{2}$ ; $\dpi{100} x_{2}$ +2)

$\dpi{100} AB=\sqrt{2[(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}]}$

= $\dpi{100} \sqrt{2(m^{2}-6m-3)}=2\sqrt{2}$ ( 0,5đ )

<=> $\dpi{100} \left [\begin{matrix} m=-1(L) & \\ m=7(TM) & \end{matrix}$ ( 0,5đ )

=> m=7 thỏa mãn yêu cầu bài toán

( Chú ý chữ lt nghĩa là dấu < ; chữ gt nghĩa là dấu > )

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

- Tổng hợp chuyên đề hàm số - Có video chữa

↑

Cho hàm số

Câu hỏi: Cho hàm số (1)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=1.2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y= x+2 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho .