Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng, đưa về tính góc giữa hai đường thẳng bằng cách áp dụng hệ thức lượng trong tam giác

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) trên \(AC \Rightarrow \,\,BH \bot AC\)  

Mà \(SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \,\,SA\bot BH\)

Suy ra \(BH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow SH\) là hình chiếu của \(SB.\)

\( \Rightarrow \,\,\widehat {SB;\left( {SAC} \right)} = \widehat {\left( {SB;SH} \right)} = \widehat {BSH}\)

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A,\) có \(SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}.\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,\) có đường cao \(BH \Rightarrow \,\,BH = \frac{{BA.BC}}{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Tam giác \(SBH\) vuông tại \(H,\) có \(\sin \widehat{BSH}=\frac{BH}{SB}=\frac{a\sqrt{3}}{2}:a\sqrt{3}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BSH}={{30}^{0}}.\)

Vậy \((\widehat {SB;\left( {SAC} \right))} = \widehat {BSH} = {30^0}.\)

Chọn A