Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trìn...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp giải phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cos.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,8{\sin ^2}x + \left( {m - 1} \right)\sin 2x + 2m - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 8{\sin ^2}x + 2\left( {m - 1} \right)\sin x\cos x + 2m - 6 = 0\end{array}\)

TH1: \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 \Rightarrow \) Phương trình trở thành \(8 + 2m - 6 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1\).

\( \Rightarrow \) Khi \(m =  - 1\) phương trình có nghiệm \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

TH2: \(\cos x \ne 0 \Rightarrow \) chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,8{\tan ^2}x + 2\left( {m - 1} \right)\tan x + \left( {2m - 6} \right)\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2m + 2} \right){\tan ^2}x + 2\left( {m - 1} \right)\tan x + 2m - 6 = 0\end{array}\)

Khi \(m =  - 1 \Rightarrow  - 4\tan x - 8 = 0 \Rightarrow \tan x =  - 2 \Rightarrow \) phương trình có nghiệm.

 Khi \(m \ne  - 1\), để phương trình có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {2m + 2} \right)\left( {2m - 6} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - 4{m^2} + 8m + 12 \ge 0\\ \Leftrightarrow  - 3{m^2} + 6m + 13 \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{{3 - 4\sqrt 3 }}{3} \le m \le \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{3}\\m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\end{array}\)

Kết hợp các trường hợp ta có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Chọn B.