Ông Kiệm muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng mộ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi chiều rộng của đáy bể là x \(\left( x>0 \right)\) (m) thì chiều dài của đáy bể là 2x (m).

+) Tính chiều cao của bể.

+) Tính diện tích toàn phần của bể (không có nắp).

+) Sử dụng BĐT Cauchy tìm GTNN của S_tp.

Giải chi tiết:

Gọi chiều rộng của đáy bể là x \(\left( x>0 \right)\) (m) thì chiều dài của đáy bể là 2x (m).

Khi đó chiều cao của bể là \(h=\frac{288}{x.2x}=\frac{144}{{{x}^{2}}}\)

\(\Rightarrow {{S}_{tp}}=2{{x}^{2}}+2\left( xh+2xh \right)=2{{x}^{2}}+6xh\,\,\left( {{m}^{2}} \right)\) (không có nắp).

\(\Rightarrow {{S}_{tp}}=2{{x}^{2}}+6x\frac{144}{{{x}^{2}}}=2{{x}^{2}}+\frac{864}{x}\,\,\left( {{m}^{2}} \right)\)

Để chi phí xây bể là thấp nhất thì \({{S}_{tp\,\,\min }}\)

Ta có \({{S}_{tp}}=2{{x}^{2}}+\frac{864}{x}=2{{x}^{2}}+\frac{432}{x}+\frac{432}{x}\overset{Cauchy}{\mathop{\ge }}\,3\sqrt[3]{2{{x}^{2}}.\frac{432}{x}.\frac{432}{x}}=216\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=\frac{432}{x}\Leftrightarrow x=6\,\,\left( m \right)\)

\(\Rightarrow {{S}_{tp\,\,\min }}=216\,\,\left( {{m}^{2}} \right)\)

Vậy ông Kiệm trả chi phí thấp nhất để xây bể là \(216.500\,000=108\,000\,000\) (đồng).

Chọn D.