Cho dãy số

B

- Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Đặt

$t=\sqrt{2+\log u_1-2\log u_{10}}\ge 0\iff \log u_1-21\log u_{10}=t^2-2,$

khi đó giả thiết trở thành:

$$\begin{gathered} {\mathrm{logu}}_1-2\log u_{10}+\sqrt{2+{\mathrm{logu}}_1-2\log u_{10}}=0 \\ \iff t^2+t-2=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \log u_1-2\log u_{10}=-1\iff {\mathrm{logu}}_1+1=2\log u_{10} \\ \iff \log \left(10u_1\right)=\log {\left(u_{10}\right)}^2\iff 10u_1={\left(u_{10}\right)}^2\left(1\right) \end{gathered}$$

Mà $u_{n+1}=2u_n\to u_n$ là cấp số nhân

với công bội $q=2\Rightarrow u_{10}=2^9{u}_1$(2).

Từ (1), (2) suy ra

$$\begin{gathered} 10u_1={\left(9^9{u}_1\right)}^2\iff 2^{18}{u}_1^2=10u_1 \\ \iff u_1=\frac{10}{2^{18}}\Rightarrow u_n=2^{n-1}.\frac{10}{2^{18}}=\frac{2^n.10}{2^{19}}. \end{gathered}$$

Do đó

$$\begin{gathered} u_n>5^{100}\iff \frac{2^n.10}{2^{19}}>5^{100}\iff n>{\log }_2\left(\frac{5^{100}{.2}^{19}}{10}\right) \\ =-{\log }_{2}10+100{\log }_{2}5+19\approx 247,87. \end{gathered}$$

Vậy giá trị n nhỏ nhất thỏa mãn là n = 248