Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

B

- Hướng dẫn giải

Đáp án B

Hàm số xác định với mọi $x\in (1;2)\iff -x^2+mx+2m+1>0\left(\forall x\in \left(1;2\right)\right)$

$$\begin{gathered} \iff m\left(x+2\right)>x^2-1\left(\forall x\in \left(1;2\right)\right) \\ \iff m>\frac{x^2-1}{x+2}\left(\forall x\in \left(1;2\right)\right)\iff m>\underset{\left(1;2\right)}{Max}g\left(x\right) \end{gathered}$$

Xét $g\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x+2}$ với $x\in \left(1;2\right)$ ta có

$$\begin{gathered} g\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x+2}=x-2+\frac{3}{x+2} \\ \Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=1-\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}>0\left(\forall x\in \left(1;2\right)\right) \end{gathered}$$

Do đó $g\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(1;2\right)\Rightarrow m\ge g\left(2\right)=\frac{3}{4}$ là giá trị cần tìm