Cho tứ diện đều ABCD

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựng CF // BI \(\left( F\in BD \right)\) \(\Rightarrow d\left( AC;BI \right)=d\left( BI;\left( ACF \right) \right)=d\left( O;\left( ACF \right) \right)\)

Giải chi tiết:

Gọi O là tâm của tam giác đều BCD \(\Rightarrow AO\bot \left( BCD \right)\). Gọi cạnh của tứ diện đều bằng a.

Kẻ đường thẳng song song với BI cắt BD tại F ta có CF // BI \(\Rightarrow BI//\left( ACF \right)\)

\(\Rightarrow d\left( AC;BI \right)=d\left( BI;\left( ACF \right) \right)=d\left( O;\left( ACF \right) \right)\)

Ta có \(BI\bot CD;\,\,CF//BI\Rightarrow CF\bot CD\)

Qua O kẻ đường thẳng song song với CD, cắt CF tại E ta có \(OE//CD\Rightarrow OE\bot CF\)

\(\left\{ \begin{align}  CF\bot OE \\  CF\bot AO \\ \end{align} \right.\Rightarrow CF\bot \left( AOE \right)\)

Trong (AOE) kẻ \(OH\bot \left( AE \right)\Rightarrow OH\bot CF\Rightarrow OH\bot \left( ACF \right)\Rightarrow d\left( O;\left( ACF \right) \right)=OH\)

Dễ thấy OICE là hình chữ nhật \(\Rightarrow OE=CI=\frac{a}{2}\).

\(OB=\frac{2}{3}BI=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow AO=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{O}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Xét tam giác vuông AOE có \(OH=\sqrt{\frac{O{{A}^{2}}.O{{E}^{2}}}{O{{A}^{2}}+O{{E}^{2}}}}=\frac{\sqrt{22}a}{11}=\frac{\sqrt{22}.\sqrt{11}}{11}=\sqrt{2}\)

Chọn D.