Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn bán...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ứng dụng tích phân vào tính thể tích khối tròn xoay \(V=\int\limits_{a}^{b}{S(x)dx}\), trong đó \(S(x)\)là diện tích của mặt cắt tại mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x.

Giải chi tiết:

Ở mặt đáy, tam giác OHB vuông tại H \(\Rightarrow HB=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\)

\(\Rightarrow AB=2\sqrt{1-{{x}^{2}}}\)

Diện tích của mặt cắt khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x \(\left( -1\le x\le 1 \right)\)là:

\(S(x)=\frac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{\left( 2\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}(1-{{x}^{2}})\)

Thể tích cần tìm : \(V=\int\limits_{-1}^{1}{S(x)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{2\sqrt{3}(1-{{x}^{2}})dx}=\sqrt{3}\left. \left( x-\frac{1}{3}{{x}^{3}} \right) \right|_{-1}^{1}=\sqrt{3}.\frac{2}{3}.2=\frac{4\sqrt{3}}{3}\) .

Chọn: C