Cho đồ thị $(C):y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.$ Có bao...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ ${{x}_{0}}:\,\,y=y'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$.

+) Thay tọa độ điểm B vào phương trình tiếp tuyến, suy ra phương trình có dạng $b=f\left( {{x}_{0}} \right)$, tìm điều kiện của b để phương trình đó có nghiệm duy nhất.

+) Phương trình $b=f\left( {{x}_{0}} \right)$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng $y=b$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( {{x}_{0}} \right)$ tại một điểm duy nhất. Lập BBT của đồ thị hàm số $y=f\left( {{x}_{0}} \right)$ và kết luận.

Giải chi tiết:

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M\left( {{x}_{0}};x_{0}^{3}-3x_{0}^{2} \right)$có dạng: $y=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}$

Do tiếp tuyến đi qua điểm $\left( 0;b \right)\Rightarrow b=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( -{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}=-2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}$

Để có đúng một tiếp tuyến của $\left( C \right)$ đi qua $B\left( 0;b \right)$ thì phương trình $b=-2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}$ có duy nhất một nghiệm. Xét hàm số $y=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}\Rightarrow y'=-6{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0\Rightarrow y=0 \\  & x=1\Rightarrow y=1 \\ \end{align} \right.$

BBT:

Dựa vào BBT của đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi $\left[ \begin{align}  & b>1 \\  & b<0 \\ \end{align} \right.$

Với $b\in \left( -10;10 \right)\Rightarrow b\in \left\{ -9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}\Rightarrow$ có 17 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.