Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Trên A’B' ké...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựng thiết diện, xác định hai phần cần tính thể tích.

Sử dụng phân chia và lắp ghép các khối đa diện.

Giải chi tiết:

Gọi \(E=MN\cap B'C'\)

Kéo dài MP cắt AB tại D, cắt AA ‘ tại F.

Nối NF, cắt AC tại G.

Do đó thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng (MNP) là NEPDG.

Gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A’ ta có :

\({{V}_{1}}={{V}_{F.A'MN}}-{{V}_{F.ADG}}-{{V}_{P.B'EM}}\)

Ta có :

\({{S}_{A'MN}}=\frac{1}{2}d\left( N;A'M \right).A'M=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}d\left( C';A'B' \right).\frac{3}{2}A'B'=\frac{3}{4}{{S}_{A'B'C'}}\)

\(\Delta BDP=\Delta B'MP\Rightarrow BD=B'M=\frac{1}{2}AB\Rightarrow D\) là trung điểm của AB.

\(\Rightarrow \frac{FA}{FA'}=\frac{AD}{A'M}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{FA'}{AA'}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{F.A'MN}}}{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}=\frac{\frac{1}{3}.FA'.{{S}_{A'MN}}}{AA'.{{S}_{ABC}}}=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}.\frac{3}{4}=\frac{3}{8}\Rightarrow {{V}_{F.A'MN}}=\frac{3}{8}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\frac{3V}{8}\)

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta ADG\) đồng dạng \(\Delta A'MN\) theo tỉ số \(\frac{1}{3}\Rightarrow {{S}_{ADG}}=\frac{1}{9}{{S}_{A'MN}}=\frac{1}{12}{{S}_{A'B'C'}}\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{F.ADG}}}{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}=\frac{\frac{1}{3}.FA.{{S}_{ADG}}}{AA'.{{S}_{A'B'C'}}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{1}{12}=\frac{1}{72}\Rightarrow {{V}_{F.ADG}}=\frac{1}{72}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\frac{V}{72}\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác A’B’C’ ta có : \(\frac{MA'}{MB'}.\frac{EB'}{EC'}.\frac{NC'}{NA'}=1\Leftrightarrow \frac{3}{2}.\frac{EB'}{EC'}.1=1\Leftrightarrow \frac{EB'}{EC'}=\frac{2}{3}\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác A’MN ta có :

\(\frac{CN}{CA}.\frac{BA}{BM}.\frac{EM}{EN}=1\Leftrightarrow \frac{1}{2}.2.\frac{EM}{EN}=1\Leftrightarrow \frac{EM}{EN}\Rightarrow \frac{ME}{MN}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{{{S}_{B'EM}}}{{{S}_{A'NM}}}=\frac{MB'}{MA'}.\frac{ME}{MN}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\Rightarrow {{S}_{B'EM}}=\frac{1}{6}{{S}_{A'NM}}=\frac{1}{8}{{S}_{A'B'C'}}\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{P.B'EM}}}{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}=\frac{\frac{1}{3}.PB'.{{S}_{B'EM}}}{BB'.{{S}_{A'B'C'}}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{1}{8}=\frac{1}{48}\Rightarrow {{V}_{P.B'EM}}=\frac{1}{48V}\)

Vậy  \({{V}_{1}}=\frac{49}{144}V\Rightarrow {{V}_{2}}=\frac{95}{144}V\Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{49}{95}\)

Chọn D.