Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z-3-4i \right|...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(z=x+yi,\) dựa vào giả thiết và biểu thức P đưa về tìm max – min của biểu thức chứa hai biến, sử dụng lượng giác hóa và bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm max – min

Giải chi tiết:

Đặt \(z=x+yi\,\,\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\) suy ra tập hợp các điểm \(M\left( z \right)=\left( x;y \right)\) là đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( 3;4 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{5}.\) Ta có \(P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left| x+2+yi \right|}^{2}}-{{\left| x+\left( y-1 \right)i \right|}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}\)

\(={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y-1=4x+2y+3\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\left( \Delta  \right):4x+2y+3-P=0.\,\)

Ta cần tìm \(P\) sao cho đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) và đường tròn \(\left( C \right)\) có điểm chung \(\Leftrightarrow \)\(d\left( I;\left( \Delta  \right) \right)\le R.\)

\(\Leftrightarrow \frac{\left| 4.3+2.4+3-P \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}}\le \sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 23-P \right|\le 10\Leftrightarrow -\,10\le 23-P\le 10\Leftrightarrow 13\le P\le 33.\)

Do đó, \(\left\{ \begin{align}  \max P=33 \\  \min P=13 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,w=M+mi=33+13i.\) Vậy \(\left| w \right|=\sqrt{1258}.\)

Chọn B