Cho phương trình \({{\log }_{0,5}}\left( m+6x \rig...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp hàm số.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: 

\(\left\{ \begin{array}{l}m + 6x > 0\\3 - 2x - {x^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x <  - \frac{m}{6}\\ - 3 < x < 1\end{array} \right.\)

\(\begin{align}  \,\,\,\,\,\,\,\,{{\log }_{0,5}}\left( m+6x \right)+{{\log }_{2}}\left( 3-2x-{{x}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow -{{\log }_{2}}\left( m+6x \right)+{{\log }_{2}}\left( 3-2x-{{x}^{2}} \right)=0 \\  \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3-2x-{{x}^{2}} \right)={{\log }_{2}}\left( m+6x \right)\Leftrightarrow 3-2x-{{x}^{2}}=m+6x\Leftrightarrow {{x}^{2}}+8x+m-3=0\,\,\,(*) \\ \end{align}\)

Khi đó, ĐKXĐ của phương trình là \(-3<x<1\)

Bài toán trở thành: Tìm m để phương trình (*) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( -3;1 \right)\)

Ta có: \(\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+8x-3=-m\)

Xét hàm số \(y={{x}^{2}}+8x-3\) trên khoảng \(\left( -3;1 \right)\):

\(y'=2x+8>2.(-3)+8=2>0\Rightarrow y'>0,\,\,\forall x\in \left( -3;1 \right)\Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên \(\left( -3;1 \right)\)

Bảng biến thiên:

Phương trình (*) có nghiệm thực \(\Leftrightarrow -18<-m<6\Leftrightarrow -6<m<18\)

Mà \(m\in {{Z}^{+}}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;...;17 \right\}\), có 17 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn: D