Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) được xác đ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính một vài giá trị, biện luận dẫn đến số hạng tổng quát của dãy số

Giải chi tiết:

Do \({u_{2018}} = 4{u_{2017}}\left( {1 - {u_{2017}}} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{u_{2017}} = 0\\
{u_{2017}} = 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{u_{2016}} = 0\\
{u_{2016}} = 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{u_1} = 0\\
{u_1} = 1
\end{array} \right..\)

Trường hợp \({{u}_{1}}={{u}_{2}}=...={{u}_{2018}}=0\Rightarrow \left[ \begin{align}& a=0 \\& a=1 \\\end{align} \right..\)

Xét phương trình \(4{{x}^{2}}-4x+m=0\) với \(0<m<1\) có \({\Delta }'=4-4m>0\) nên phương trình luôn có \(2\) nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\) và \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1,\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m}{4}\Rightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( 0;1 \right).\)

Ta có \({{u}_{2}}=1\Rightarrow 4{{u}_{1}}-4u_{1}^{2}=1\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \)  có \({{2}^{0}}\) nghiệm \({{u}_{1}}\).

\({{u}_{3}}=1\Rightarrow {{u}_{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow 4u_{1}^{2}-4{{u}_{1}}+\frac{1}{2}=0\Rightarrow \)  có \({{2}^{1}}\) nghiệm \({{u}_{1}}\).

\({{u}_{4}}=1\Rightarrow {{u}_{3}}=\frac{1}{2}\Rightarrow 4u_{2}^{2}-4{{u}_{2}}+\frac{1}{2}=0\)  có \(2\) nghiệm \({{u}_{2}}\in \left( 0;1 \right)\)\(\Rightarrow \)\({{2}^{2}}\) nghiệm \({{u}_{1}}\).

    ..................

\({{u}_{2017}}=1\) có \({{2}^{2015}}\) nghiệm \({{u}_{1}}\).

Vậy có \(2+{{2}^{0}}+{{2}^{1}}+{{2}^{2}}+...+{{2}^{2015}}=2+\frac{{{2}^{2016}}-1}{2-1}={{2}^{2016}}+1.\)

Chọn A