Cho hình chóp \(S.ABC\) có  \(\Delta ABC\) vuông t...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựng hình tìm tâm bán kính mặt cầu hoặc áp dụng công thức tính nhanh

Giải chi tiết:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(SC.\)

Ta có: \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\Rightarrow IA=IS=IC\) (tính chất đường trung tuyến)

Có: \(\left\{ \begin{align}& BC\bot SA \\& BC\bot AB \\\end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB.\)

\(\Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B \Rightarrow IS = IB = IC\) (tính chất đường trung tuyến).

\(\Rightarrow IS=IA=IB=IC\) hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,\) có

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a\)

Tam giác \(SAC\) vuông tại \(C,\) có \(SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}\).

Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là

\(R = SI = \frac{{SC}}{2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Chọn A