Biết \(\int\limits_1^3 {\dfrac{{\left( {3x + 1} \r...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow x = {e^t} \Rightarrow dx = {e^t}dt\).

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow x = {e^t} \Rightarrow dx = {e^t}dt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = 3 \Rightarrow t = \ln 3\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^3 {\dfrac{{\left( {3x + 1} \right)dx}}{{3{x^2} + x\ln x}}}  = \int\limits_0^{\ln 3} {\dfrac{{\left( {3{e^t} + 1} \right){e^t}dt}}{{3{e^{2t}} + {e^t}t}}}  = \int\limits_0^{\ln 3} {\dfrac{{3{e^t} + 1dt}}{{3{e^t} + t}}}  = \int\limits_0^{\ln 3} {\dfrac{{d\left( {3{e^t} + t} \right)}}{{3{e^t} + t}}} \\ = \left. {\ln \left| {3{e^t} + t} \right|} \right|_0^{\ln 3} = \ln \left| {9 + \ln 3} \right| - \ln 3 = \ln \dfrac{{9 + \ln 3}}{3} = \ln \left( {3 + \dfrac{{\ln 3}}{3}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\\c = 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 9\end{array}\)

Chọn D.