Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi c...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thể tích vật thể khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right),\) trục hoành, \(x = a;x = b\) quay quanh trục \(Ox\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}dx} \)

Giải chi tiết:

Từ đề bài, ta có: \({V_k} = \pi  \Leftrightarrow \pi \int\limits_1^k {\ln xdx}  = \pi  \Leftrightarrow \int\limits_1^k {\ln xdx}  = 1\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln x = u\\dx = dv\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)

Nên \(\int\limits_1^k {\ln xdx}  = 1\)\( \Leftrightarrow x\left. {\ln x} \right|_1^k - \int\limits_1^k {dx}  = 1\)\( \Leftrightarrow k\ln k - k + 1 = 1 \Leftrightarrow k\ln k - k = 0 \Leftrightarrow k\left( {\ln k - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0\,\,\left( l \right)\\k = e\end{array} \right.\).

Vậy \(2 < k < 3\).

Chọn C.