Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\,AB = 6\,cm,\,AC...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng:

-  Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật, hình bình hành, hình thang cân.

- Tính chất đường trung bình của tam giác, tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

- Định lý Ta-lét.

Giải chi tiết:

1. Xét tứ giác \(AB{\rm{D}}C\) có \(A{\rm{D}}\) và \(BC\) cắt nhau tại trung điểm \(M\) của mỗi đường (gt)

\( \Rightarrow AB{\rm{D}}C\) là hình bình hành (dhnb)

Lại có \(\angle BAC = {90^0}\left( {gt} \right) \Rightarrow \) hình bình hành \(AB{\rm{D}}C\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

     Ta có: \({S_{AB{\rm{D}}C}} = AB.AC = 6.8 = 48\,c{m^2}\)

2. Xét \(\Delta A{\rm{D}}E\) có \(H,\,M\) là trung điểm của \(A{\rm{E}}\) và \(A{\rm{D}}\) (gt)

\( \Rightarrow HM\) là đường trung bình của \(\Delta A{\rm{D}}E\) (dhnb)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HM = \frac{1}{2}DE\\HM//DE\end{array} \right.\) (tính chất)

3. Xét \(\Delta A{\rm{D}}E\) có: \(MH//DE\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{AM}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{AH}}{{A{\rm{E}}}} = \frac{{MH}}{{DE}}\) (định lý Ta-lét)

              \(\Delta AHM \sim \Delta A{\rm{ED}}\left( {c - c - c} \right) \Rightarrow \frac{{{S_{AHM}}}}{{{S_{A{\rm{ED}}}}}} = {\left( {\frac{{HM}}{{DE}}} \right)^2} = \frac{1}{4}\;\;\;\left( {dpcm} \right).\)

4. Ta có: \(MH//DE\left( {cmt} \right) \Rightarrow BC//DE \Rightarrow BC{\rm{D}}E\) là hình thang (dhnb)

Xét \(\Delta ABE\) có: \(BH\) vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên \(\Delta ABE\)là tam giác cân tại B (dhnb)

\( \Rightarrow BH\) là phân giác của \(\angle ABE\) (tính chất)

\( \Rightarrow \angle ABC = \angle CBE\) (tính chất tia phân giác)

Mà \(\angle ABC = \angle BC{\rm{D}}\) (so le trong)

\( \Rightarrow \angle CBE = \angle BC{\rm{D}}\) \( \Rightarrow \) hình thang \(BC{\rm{D}}E\) là hình thang cân (dhnb).