Cho hàm số \(y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+mx+1\) có đồ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) có hệ số góc \(k=y'\), tìm x để y’ đạt GTLN.

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ vừa tìm được, cho đường thẳng tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ, tìm m. 

Giải chi tiết:

Ta có \(k=y'=-3{{x}^{2}}+2mx+m\) đạt GTLN tại \(x=\frac{2m}{6}=\frac{m}{3}\Rightarrow y\left( \frac{m}{3} \right)=\frac{-{{m}^{3}}}{27}+\frac{{{m}^{3}}}{9}+\frac{{{m}^{2}}}{3}+1=\frac{2{{m}^{3}}}{27}+\frac{{{m}^{2}}}{3}+1\) \(\Rightarrow y'\left( \frac{m}{3} \right)=-3.\frac{{{m}^{2}}}{9}+2m.\frac{m}{3}+m=\frac{{{m}^{2}}}{3}+m\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x=\frac{m}{3}\) là: \(y=\left( \frac{{{m}^{2}}}{3}+m \right)\left( x-\frac{m}{3} \right)+\frac{2{{m}^{3}}}{27}+\frac{{{m}^{2}}}{3}+1\,\,\left( d \right)\)

Đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ \(\begin{align} & \Rightarrow 0=\left( \frac{{{m}^{2}}}{3}+m \right)\left( -\frac{m}{3} \right)+\frac{2{{m}^{3}}}{27}+\frac{{{m}^{2}}}{3}+1 \\ & \Leftrightarrow 0=-\frac{{{m}^{3}}}{9}-\frac{{{m}^{2}}}{3}+\frac{2{{m}^{3}}}{27}+\frac{{{m}^{2}}}{3}+1 \\ & \Leftrightarrow \frac{{{m}^{3}}}{27}=1\Leftrightarrow m=3 \\ \end{align}\)

Chọn B.