Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,\(...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng, sử dụng tam giác đồng dạng để tính SA.

Giải chi tiết:

Ta có: $\widehat {ABC} = {120^0} \Rightarrow \widehat {BAD} = {60^0} \Rightarrow \Delta ABD$ đều

$\Rightarrow BD = a;\,\,AC = 2AO = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$.

Nhận xét $BD \bot SC \Rightarrow$ kẻ $OM \bot SC \Rightarrow \left( {BDM} \right) \bot SC$ do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là $\widehat {BMD} = {120^0}$ hoặc $\widehat {BMD} = {60^0}$.

Dễ nhận thấy $\Delta SBC = \Delta SDC \Rightarrow BM = DM \Rightarrow \Delta MBD$ cân tại M.

TH1: Nếu$\widehat {BMD} = {120^0}$ mà tam giác BMD cân tại M nên $\widehat {BMO} = {60^0} \Rightarrow MO = BO.cot{60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\Delta COM \sim \Delta CSA\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{OM}}{{SA}} = \frac{{CO}}{{SC}} \Rightarrow \frac{{a\sqrt 3 }}{{6SA}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt {S{A^2} + 3{a^2}} }}\\ \Rightarrow 3SA = \sqrt {S{A^2} + 3{a^2}}  \Rightarrow 8S{A^2} = 3{a^2} \Rightarrow SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\end{array}$.

TH2: Nếu $\widehat {BMD} = {60^0} \Rightarrow \Delta MBD$ đều cạnh a $\Rightarrow MO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\Delta COM \sim \Delta CSA\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{OM}}{{SA}} = \frac{{CO}}{{SC}} \Rightarrow \frac{{a\sqrt 3 }}{{2SA}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt {S{A^2} + 3{a^2}} }}\\ \Rightarrow SA = \sqrt {S{A^2} + 3{a^2}} \,\,\left( {Vo\,\,ly} \right).\end{array}$.

Chọn D.