Trong mặt phẳng Oxy, có bao nhiêu điểm mà...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích hệ số góc của hai đường thẳng đó bằng \( - 1\).

Giải chi tiết:

\(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + x + 1 \Rightarrow y' = {x^2} - x + 1\)

Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là 2 điểm trên đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + x + 1\) sao cho từ tiếp tuyến tại A và tại B vuông góc với nhau. Khi đó: \(y'\left( {{x_1}} \right).y'\left( {{x_2}} \right) =  - 1\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_1}^2 - {x_1} + 1} \right)\left( {{x_2}^2 - {x_2} + 1} \right) =  - 1\) : Vô lý, do \({x_1}^2 - {x_1} + 1,\,\,{x_2}^2 - {x_2} + 1 > 0,\,\,\forall {x_1},{x_2}\)

Vậy, không tồn tại tiếp điểm A, B thỏa mãn đề bài, suy ra, không tồn tại điểm mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + x + 1\) sao cho hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.

Chọn: A