Cho dãy số \(({{u}_{n}})\) với \(\left\{ \begin{al...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Dãy số \(({{u}_{n}})\): \(\left\{ \begin{align}  & {{u}_{1}}=1 \\ & {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+2,\,\,n\ge 1 \\\end{align} \right.\) là dãy cấp số cộng, với \({{u}_{1}}=1,\)công sai \(d=2\).

Số hạng tổng quát của dãy: \({{u}_{n}}={{u}_{1}}+(n-1)d,\,\,\,n\ge 1\)

+) Dãy số \(({{u}_{n}})\): \(\left\{ \begin{align}  & {{u}_{1}}=1 \\ & {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+2,\,\,n\ge 1 \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \frac{1}{{{u}_{k}}{{u}_{k+1}}}=\frac{1}{2}.\frac{{{u}_{k+1}}-{{u}_{k}}}{{{u}_{k}}{{u}_{k+1}}}=\frac{1}{2}.\left( \frac{1}{{{u}_{k}}}-\frac{1}{{{u}_{k+1}}} \right)\)

Giải chi tiết:

Dễ thấy \(\left( {{u}_{n}} \right)\) là 1 CSC có \({{u}_{1}}=1\) và \(d=2\)

\(\Rightarrow {{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d=1+\left( n-1 \right).2=2n-1\)

\(\begin{array}{l}
{S_n} = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_n}{u_{n + 1}}}} = \frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_2}}}} \right) + \frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{{{u_2}}} - \frac{1}{{{u_3}}}} \right) + ... + \frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{{{u_n}}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)\\
= \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{{1 + 2n}}} \right) = \frac{n}{{1 + 2n}}
\end{array}\)

\(\lim {{S}_{n}}=\lim \frac{n}{1+2n}=\lim \frac{1}{\frac{1}{n}+2}=\frac{1}{2}\)

Chọn: D