Biết \(\int\limits_1^e {\dfrac{{2\ln x + 3}}{{{x^2...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tách tích phân đã cho thành các tích phân quen thuộc.

- Sử dụng các phương pháp tính tích phân (các hàm cơ bản, từng phần) tính các tích phân vừa tách được và suy ra đáp số.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_1^e {\dfrac{{2\ln x + 3}}{{{x^2}}}dx}  = \int\limits_1^e {\dfrac{{2\ln x}}{{{x^2}}}dx}  + \int\limits_1^e {\dfrac{3}{{{x^2}}}dx}  = 2I + K\)

\(K = \int\limits_1^e {\dfrac{3}{{{x^2}}}dx}  = \left. { - \dfrac{3}{x}} \right|_1^e = 3 - \dfrac{3}{e}\); \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \dfrac{1}{{{x^2}}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v =  - \dfrac{1}{x}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \left. { - \dfrac{1}{x}\ln x} \right|_1^e + \int\limits_1^e {\dfrac{1}{{{x^2}}}dx}  =  - \dfrac{1}{e} - \left. {\dfrac{1}{x}} \right|_1^e = 1 - \dfrac{2}{e}\)

Khi đó: \(\int\limits_1^e {\dfrac{{2\ln x + 3}}{{{x^2}}}dx}  = 2\left( {1 - \dfrac{2}{e}} \right) + 3 - \dfrac{3}{e} =  - \dfrac{7}{e} + 5\)

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 7\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow a + b =  - 2\).

Chọn A.