Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông t...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

Bước 2: Xác định trục (d) của đáy (đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với đáy)

Bước 3: Xác định mặt phẳng trung trực (P) của 1 mặt bên của hình chóp.

Bước 4: Tìm giao điểm của (d) và (P), giao điêm ấy chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Đối với những hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy ta có công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp là \(R = \sqrt {{{\left( {{h \over 2}} \right)}^2} + R{'^2}} \) với R’ là bán kính đường trọn ngoại tiếp đáy.

Giải chi tiết:

Ta có:\(\widehat {((ABC),(AB'C')} = \widehat {((A'B'C'),(AB'C')}\).  Giao tuyến của chúng là B’C’. Từ H dựng \(HK \bot B'C'\) thì ta có:

\(\left. \matrix{B'C' \bot HK \hfill \cr B'C' \bot AH\,\,\left( {AH \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow B'C' \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow B'C' \bot AK\)

 Xét tam giác vuông ABC có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = a\sqrt 3  = B'C'\)

Gọi A’G là đường cao trong tam giác vuông  ta có: \(A'G = {{A'B'.A'C'} \over {B'C'}} = {{a.a\sqrt 2 } \over {a\sqrt 3 }} = {{a\sqrt 6 } \over 3}\)

\( \Rightarrow HK = {1 \over 2}AG = {{a\sqrt 6 } \over 6}\) (đường trung bình)

Xét tam giác vuông AHK có: \(AH = HK.\tan 60 = {{a\sqrt 6 } \over 6}\sqrt 3  = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)

Xét tam giác vuông A’C’H có: \(HC' = \sqrt {A'C{'^2} + A'{H^2}}  = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + 2{a^2}}  = {{3a} \over 2}\)

Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}a.a\sqrt 2  = {{{a^2}\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow {S_{\Delta HB'C'}} = {1 \over 2}{S_{\Delta ABC}} = {{{a^2}\sqrt 2 } \over 4}\)

Ta gọi tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác HB’C’, R’ là bán kính đường trìn ngoại tiếp tam giác HB’C’ ta có:

\(\eqalign{ & {S_{\Delta HB'C'}} = {{abc} \over {4R'}} \Rightarrow R' = {{abc} \over {4{S_{\Delta HB'C'}}}} = {{{a \over 2}.a\sqrt 3 .{{3{\rm{a}}} \over 2}} \over {{a^2}\sqrt 2 }} = {{3a\sqrt 6 } \over 8} \cr & \to R = \sqrt {{{{h^2}} \over 4} + {R^{'2}}} = \sqrt {{{{a^2}} \over 8} + {{27{a^2}} \over {32}}} = {{a\sqrt {62} } \over 8}. \cr} \)

 Chọn D.