Cho\(\Delta ABC,\)  gọi \({A_1},{C_1},{B_1}\) các...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi \({G_1}\)  là trọng tâm của \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1};\,\,\,G\)  là trọng tâm của \(\Delta ABC.\)

Ta chứng minh: \(G\equiv {{G}_{1}}\Leftrightarrow \overrightarrow{G{{G}_{1}}}=\vec{0}\)

Ta có: \(2\overrightarrow {{A_1}B}  + 3\overrightarrow {{A_1}C}  = \vec 0 \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {{A_1}G}  + \overrightarrow {GB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {{A_1}G}  + \overrightarrow {GC} } \right) = \vec 0\)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow {GB}  + 3\overrightarrow {GC}  = 5\overrightarrow {G{A_1}} \)

Tương tự ta có: \(2\overrightarrow{GC}+3\overrightarrow{GA}=5\overrightarrow{G{{B}_{1}}}~;\,\,\,2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=5\overrightarrow{G{{C}_{1}}}.\)

Cộng ba đẳng thức trên vế theo vế ta có:

\(\begin{array}{l}5\left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) = 5\left( {\overrightarrow {G{C_1}}  + \overrightarrow {G{A_1}}  + \overrightarrow {G{B_1}} } \right)\\\vec 0 = \overrightarrow {G{C_1}}  + \overrightarrow {G{A_1}}  + \overrightarrow {G{B_1}} \\ \Rightarrow \vec 0 = \overrightarrow {G{G_1}}  + \overrightarrow {{G_1}{C_1}}  + \overrightarrow {G{G_1}}  + \overrightarrow {{G_1}{A_1}}  + \overrightarrow {G{G_1}}  + \overrightarrow {{G_1}{B_1}} \\ \Leftrightarrow \vec 0 = 3\overrightarrow {G{G_1}}  \Rightarrow G \equiv {G_1}.\end{array}\)

Vậy \(\Delta ABC,\,\,\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) có cùng trọng tâm.