Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\)để đư...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nếu 1 đường thẳng cắt đồ thị hàm số bậc ba tại 3 điểm phân biệt, 1 trong 3 điểm đó là điểm uốn của đồ thị thì điểm uốn đó là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 giao điểm còn lại

Giải chi tiết:

Hàm số đã cho có y’ = 3x² – 6x; y’’ = 6x – 6 = 0 ⇔ x = 1. Đồ thị hàm số có điểm uốn là U(1;–m)

Đường thẳng y = –mx luôn đi qua điểm U(1;–m) với mọi m. Do đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì đường thẳng y = –mx cắt đồ thị hàm số đã cho tại 3 điểm phân biệt.

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường:

\(\begin{array}{l} - mx = {x^3} - 3{x^2} - m + 2{\rm{ }}\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + mx - m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + m - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x + m - 2 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 1 - \left( {m - 2} \right) > 0\\{1^2} - 2.1 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3\)

Vậy m ∈ (–∞;3) thỏa yêu cầu bài toán

Chọn A