Phương trình \(\cot x - \tan x + 4\sin 2x = {2 \ov...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

ĐK:\(\left\{ \matrix{\sin x \ne 0 \hfill \cr \cos x \ne 0 \hfill \cr \sin 2x \ne 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne {{k\pi } \over 2}\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

\(\eqalign{ & \cot x - \tan x + 4\sin 2x = {2 \over {\sin 2x}} \cr & \Leftrightarrow {{\cos x} \over {\sin x}} - {{\sin x} \over {\cos x}} + 4\sin 2x = {2 \over {\sin 2x}} \cr & \Leftrightarrow {{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \over {\sin x\cos x}} + 4\sin 2x = {2 \over {\sin 2x}} \cr & \Leftrightarrow {{2\cos 2x} \over {\sin 2x}} + 4\sin 2x = {2 \over {\sin 2x}} \cr & \Leftrightarrow 2\cos 2x + 4{\sin ^2}2x = 2 \cr & \Leftrightarrow 2\cos 2x + 4 - 4{\cos ^2}2x = 2 \cr & \Leftrightarrow - 2{\cos ^2}2x + \cos 2x + 1 = 0 \cr} \)

Đặt \(\cos 2x = t\). Vì \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow {\cos ^2}2x \ne 1 \Leftrightarrow \cos 2x \ne  \pm 1 \Rightarrow t \in \left( { - 1;1} \right)\)

Khi đó phương trình có dạng  \( - 2{t^2} + t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{t = 1\,\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr t = - {1 \over 2}\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr} \right.\)

\(t =  - {1 \over 2} \Rightarrow \cos 2x =  - {1 \over 2} \Leftrightarrow 2x =  \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi  \Leftrightarrow x =  \pm {\pi  \over 3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Chọn D.