Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'.\) Biết tích c...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi cạnh của hình lập phương là \(x\), tính \(d\left( {D;\left( {D'AC} \right)} \right)\) theo \(x\).

+) So sánh \(d\left( {D;\left( {D'AC} \right)} \right)\) và \(d\left( {B';\left( {D'AC} \right)} \right)\), từ đó tính \(d\left( {B';\left( {D'AC} \right)} \right)\) theo \(x\).

+) Theo bài ra ta có: \(d\left( {D;\left( {D'AC} \right)} \right).d\left( {B';\left( {D'AC} \right)} \right) = 6{a^2}\), tìm \(x\) theo \(a\) và tính thể tích khối lập phương.

Giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC \bot DD'\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {ODD'} \right)\).

Trong \(\left( {ODD'} \right)\) kẻ \(OH \bot OD'\,\,\left( {H \in OD'} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}DH \bot OD'\\DH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot \left( {D'AC} \right) \Rightarrow d\left( {D'\left( {D'AC} \right)} \right) = DH\).

Gọi cạnh của hình lập phương là \(x\) ta có \(DD' = x,\,\,OD = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(DD'O\) ta có:

\(DH = \frac{{DO.DD'}}{{\sqrt {D{O^2} + DD{'^2}} }} = \frac{{\frac{{x\sqrt 2 }}{2}.x}}{{\sqrt {\frac{{{x^2}}}{2} + {x^2}} }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\).

Trong \(\left( {BDD'B'} \right)\) gọi \(M = BD \cap OD' \Rightarrow BD \cap \left( {D'AC} \right) = M\) ta có:

\(\frac{{d\left( {D;\left( {D'AC} \right)} \right)}}{{d\left( {B';\left( {D'AC} \right)} \right)}} = \frac{{DM}}{{B'M}} = \frac{{OD}}{{B'D'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {B';\left( {D'AC} \right)} \right) = 2d\left( {D;\left( {D'AC} \right)} \right) = \frac{{2x\sqrt 3 }}{3}\)

Theo bài ra ta có: \(\frac{{2x\sqrt 3 }}{3}.\frac{{x\sqrt 3 }}{3} = 6{a^2} \Leftrightarrow \frac{2}{3}{x^2} = 6{a^2} \Leftrightarrow x = 9{a^2} \Leftrightarrow x = 3a\).

Do đó thể tích khối lập phương là \(V = {\left( {3a} \right)^3} = 27{a^3} \Rightarrow k = 27 \in \left( {20;30} \right)\).

Chọn A.