Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AC = a;\,BC...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định khoảng cách giữa một mặt chứa đường này và song song với đường kia.

Đưa về bài toán khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Ta có: \(CC'//AA' \Rightarrow CC'//\left( {ABB'C'} \right) \supset AM\)

\( \Rightarrow d\left( {AM;CC'} \right) = d\left( {CC';\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right)\) 

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(CH \bot AB\,\,\left( {H \in AB} \right)\) ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\\CH \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow d\left( {C';\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CH\).

Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}CA.CB.\sin \angle ACB = \frac{1}{2}.2a.a.\sin {120^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABC\) ta có: 

\(AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.\cos \angle ACB}  = \sqrt {4{a^2} + {a^2} - 2.2a.a.\frac{{ - 1}}{2}}  = a\sqrt 7 \)

Mà \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}CH.AB \Rightarrow CH = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{AB}} = \frac{{2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 7 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\).

Chọn B.