Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất ph...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chia cả 2 vế của bất phương trình cho \({3^x} > 0\), đặt \(t = {2^x} > {2^0} = 1\), cô lập m, đưa bất phương trình về dạng \(m < f\left( t \right)\,\,\,\forall t > 1 \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( t \right)\,\).

+) Lập BBT của hàm số \(y = f\left( t \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\left( {3m + 1} \right){.12^x} + \left( {2 - m} \right){.6^x} + {3^x} < 0\) nghiệm đúng với mọi \(x > 0\).

Chia cả 2 vế của bất phương trình cho \({3^x} > 0\) ta được: \(\left( {3m + 1} \right){.4^x} + \left( {2 - m} \right){.2^x} + 1 < 0\) nghiệm đúng với mọi \(x > 0\).

Đặt \(t = {2^x} > {2^0} = 1\), bất phương trình trở thành: \(\left( {3m + 1} \right).{t^2} + \left( {2 - m} \right).t + 1 < 0\,\,\forall t > 1\)

\( \Leftrightarrow 3m{t^2} + {t^2} + 2t - mt + 1 < 0\,\,\forall t > 1 \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 < m\left( {t - 3{t^2}} \right)\,\,\forall t > 1\)

Ta có :  \(t - 3{t^2} < 0\,\,\,\,\forall t > 1 \Rightarrow f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{t - 3{t^2}}} > m\,\,\,\forall t > 1 \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( t \right)\,\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{t - 3{t^2}}}\) trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\) ta có :

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \frac{{\left( {2t + 2} \right)\left( {t - 3{t^2}} \right) - \left( {{t^2} + 2t + 1} \right)\left( {1 - 6t} \right)}}{{{{\left( {t - 3{t^2}} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{2{t^2} - 6{t^3} + 2t - 6{t^2} - {t^2} - 2t - 1 + 6{t^3} + 12{t^2} + 6t}}{{{{\left( {t - 3{t^2}} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{7{t^2} + 6t - 1}}{{{{\left( {t - 3{t^2}} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\;\;\left( {ktm} \right)\\t = \frac{1}{7}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

BBT :

Dựa vào BBT ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( t \right)\, =  - 2 \Leftrightarrow m <  - 2\).

Chọn D.