Giải phương trình nghiệm nguyên \(27{x^4} - 9{y^4}...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét tính chia hết của \(x,\,\,y,\,\,z,\,\,t\) với 3.

Suy ra công thức nghiệm tổng quát của phương  trình rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0};{t_0}} \right)\) là 1 nghiệm của phương trình đã cho.

Khi đó \(27{x_0}^4 - 9{y_0}^4 + 3{z_0}^4 = {t_0}^4\,\,\left( 1 \right).\)

Suy ra \({t_0}^4\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow {t_0}\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow {t_0} = 3{t_1}\). Thay vào (1) ta có:

                                           \(\begin{array}{l}27{x_0}^4 - 9{y_0}^4 + 3{z_0}^4 = 81{t_1}^4\\ \Leftrightarrow 9{x_0}^4 - 3{y_0}^4 + {z_0}^4 = 27{t_1}^4\\ \Rightarrow z_0^4\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow {z_0}\,\, \vdots \,\,3\\ \Rightarrow {z_0} = 3{z_1}\end{array}\)

Tương tự ta có \({y_0} = 3{y_1};\,\,{x_0} = 3{x_1}\)

Khi đó thay tất cả vào (1) ta có \(27{x_1}^4 - 9{y_1}^4 + 3{z_1}^4 = {t_1}^4 \Rightarrow \left( {{x_1};{y_1};{z_1};{t_1}} \right)\) cũng là 1 nghiệm của phương trình ban đầu.

Chứng minh tương tự ta có \(\left( {\dfrac{{{x_0}}}{{{3^k}}};\dfrac{{{y_0}}}{{{3^k}}};\dfrac{{{z_0}}}{{{3^k}}}} \right)\,\,\forall k \in {\mathbb{Z}^ + }\) là nghiệm của phương trình đã cho \( \Leftrightarrow {x_0} = {y_0} = {z_0} = {t_0} = 0.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {0;0;0;0} \right)\).