Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a. Gọ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Dựng thiết diện khi biết các yếu tố song song.

- Chứng minh thiết diện vừa dựng được là tam giác đều

- Tính diện tích tam giác đều bằng công thức tính nhanh: Diện tích tam giác đều cạnh a là \(S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\).

Giải chi tiết:

Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AC và AD ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {ABC} \right) \cap \left( \alpha  \right)\\\left( \alpha  \right)\parallel BC \subset \left( {ABC} \right)\\IH\parallel BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {ABC} \right) \cap \left( \alpha  \right) = IH\)

Tương tự ta chứng minh được \(\left( \alpha  \right)\cap \left( ACD \right)=HK\,\,;\,\,\left( \alpha  \right)\cap \left( ABD \right)=IK\)

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua I và song song với (BCD) là tam giác IHK.

Ta có: IH, HK, IK lần lượt là đường trung bình của các tam giác ABC, ACD, ABD.

\(IH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a,HK=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}a,IK=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}a\Rightarrow IH=HK=IK=\frac{a}{2}\Rightarrow \Delta IHK\(đều cạnh \(\frac{a}{2}.\)

Vậy \({{S}_{\Delta IHK}}={{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}.\)

Chọn D.