Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựng hình, xác định đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng và tính toán dựa vào các tam giác.

Giải chi tiết:

Ta có \(\Delta \,ADM=\Delta \,DCN\ \left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{ADM}=\widehat{DCN}\Rightarrow DM\bot CN\)

Kết hợp với \(DM\bot SH\) suy ra \(DM\bot \left( SHC \right).\)

Hạ \(HK\bot SC\,\,\,\left( K\in SC \right)\) suy ra \(HK\) là đoạn vuông góc chung của \(DM\) và \(SC.\) Do đó \(d\left( DM;SC \right)=HK.\)

\(CN=\sqrt{C{{D}^{2}}+D{{N}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.\)

Lại có \(HC=\frac{C{{D}^{2}}}{CN}={{a}^{2}}:\frac{a\sqrt{5}}{2}=\frac{2a}{\sqrt{5}}\) và

\(HK=\frac{SH.HC}{SC}=\frac{SH.HC}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}.\frac{2a}{\sqrt{5}}}{\sqrt{3{{a}^{2}}+\frac{4{{a}^{2}}}{5}}}=\frac{a\sqrt{12}}{\sqrt{19}}.\)

Vậy \(d\left( DM;SC \right)=\frac{a\sqrt{12}}{\sqrt{19}}.\)

Chọn C