Cho mặt cầu (S) bán kính R. Hình nón (N) thay đổi...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giả sử ta dựng được hính nón có đỉnh A và đáy là đường tròn có đường kính BC như hình vẽ, gọi H là trung điểm của BC .

Đặt \(OH=x\ \left( 0<x<R \right)\). biểu diễn AH và BH theo x, sử dụng công thức tính thể tích khối nón \(V=\frac{1}{3}\pi B{{H}^{2}}.AH\), tìm GTLN của V.

Giải chi tiết:

Giả sử ta dựng được hính nón có đỉnh A và đáy là đường tròn có đường kính BC như hình vẽ, gọi H là trung điểm của BC \(\Rightarrow AH\bot BC\)

Đặt \(OH=x\,\,\left( 0<x<R \right)\) ta có: \(BH=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\) và \(AH=R+x\)

\(\Rightarrow {{V}_{n}}=\frac{1}{3}\pi B{{H}^{2}}.AH=\frac{1}{3}\pi \left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( R+x \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( R+x \right)=-{{x}^{3}}-R{{x}^{2}}+{{R}^{2}}x+{{R}^{3}}\) ta có :

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = - 3{x^2} - 2Rx + {R^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{R}{3}\\
x = - R\,\,\left( {ktm} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{R}{3}\\
f\left( {\frac{R}{3}} \right) = \left( {{R^2} - \frac{{{R^2}}}{9}} \right)\left( {R + \frac{R}{3}} \right) = \frac{{8{R^2}}}{9}.\frac{{4R}}{3} = \frac{{32{R^3}}}{{27}}\\
\Rightarrow {V_{{n_{\max }}}} = \frac{1}{3}\pi .\frac{{32{R^3}}}{{27}} = \frac{{32\pi {R^3}}}{{81}}
\end{array}\)

Chọn A.